Tragédie des biens communs dans un monde fini

L’idée que nous vivons dans un monde fini m’obsède. Elle est d’ailleurs la clef de voûte du projet Siècle bleu : ce siècle sera celui du monde fini, face à cela l’humanité a le choix d’apprendre à vivre avec les limites de notre monde avec tout ce que cela implique comme changements (option dite "siècle bleu") ou bien basculer dans le chaos (cf. Genèse de Siècle bleu).

L’humanité tâtonne et n’a pour l’instant pas réussi à trouver un mode de gouvernance et une organisation économique qui permettent de gérer la pénurie à venir des différentes ressources naturelles. Si rien n’est fait, nous serons victimes inéluctablement de ce que l’économiste Garreth Hardin appelait la Tragédie des biens communs (tragedy of commons) dans un article célèbre paru en 1968 dans la revue Science (l’article est disponible intégralement et gratuitement).

Le texte original de Garrett Hardin décrit comment l'accès libre à une ressource limitée pour laquelle la demande est forte mène inévitablement à la surexploitation de cette ressource et finalement à sa disparition. Chaque individu ayant un intérêt personnel à utiliser la ressource commune de façon à maximiser son usage individuel, tout en distribuant entre chaque utilisateur les coûts d'exploitation, est la cause du problème.

L’économie de marché qui domine le monde contemporain accélérera ce processus, car elle n’offre pas de rétroactions permettant de gérer la pénurie, la hausse des prix (rétroaction prévue par le marché) n’intervenant bien souvent que trop tard ou jamais. On le voit par exemple pour l’exploitation des stocks de poisson qui s’écroulent en silence. La morue d'Atlantique n'a pas été secourue par le marché (qui se contente aussi bien de colin ou d'une autre espèce), elle a disparu. On le voit plus généralement dans la biodiversité à laquelle l’économie traditionnelle ne donne pas de prix. Le rapport Sukhdev présenté mercredi au sommet international sur la biodiversité qui se tient à Nagoya (Japon) sous l'égide de l'ONU (qui a déclaré 2010 Année Internationale de la biodiversité), nous a rappelé que les services rendus par la nature étaient chiffrables à 23 500 milliards de dollars, soit la moitié du PIB mondial. A nouveau, je ne suis pas sûr qu'intégrer cela artificiellement dans l'économie de marché, comme cela a été le cas avec le CO2, changera quelquechose. Le problème est l'état d'esprit et Einstein disait bien : "Aucun problème ne peut être résolu, sans changer l'état d'esprit qui l'a engendré".

Si la disparition d’espèces animales ou végétales n’émeut pas outre mesure nos décideurs, la pénurie d’autres ressources provoque en revanche un grand stress. On le voit en ce moment en France avec la grève des dépôts de carburant qui préfigure d'ailleurs l’avenir proche si rien n’est fait pour développer des alternatives aux énergies fossiles (et surtout une réduction massive de la demande énergétique). Mais ces alternatives elles-mêmes vont buter sur la finitude d’autres ressources. Prenons par exemple, les voitures électriques (le mieux évidemment étant de n’avoir pas de voitures) qui requièrent du lanthane pour les accumulateurs ou bien les éoliennes qui nécessitent 600 kilos de néodyme pour leurs aimants.

Le lanthane et le néodyme font malheureusement partie de ce que l’on appelle les « terres rares » (ou « métaux rares ») dont 96% de la production est assurée par la Chine et qui sont utilisées dans toutes les industries de pointe (comme l'aéronautique, la défense ou l'électronique).

Ces mystérieux éléments chimiques font depuis un an les titres des journaux car la Chine s’en sert comme d’une arme diplomatique. L’an dernier elle a réduit de 30% ses exportations de terres rares et elle vient d’annoncer une nouvelle réduction de 40%. Officiellement la Chine souhaite d’abord satisfaire sa demande intérieure en plein essor et réorganiser cette filière (qui comportait 130 acteurs épars et que la Chine veut réduire à 3 ou 4). Officieusement, suite à la collision entre un bateau des gardes-côtes japonais et un navire de pêche chinois au large des îles Senkaku (pour les Japonais, les îles étant appelées Diaoyu côté chinois), revendiquées par les deux pays, elle a fait comprendre au Japon sa dépendance des exportations chinoises. Et depuis récemment, c’est les Etats-Unis qui en font les frais (suite à une plainte déposée auprès de l’OMC pour subventions illicites au secteur des énergies renouvelables). Il n’est pas la peine de préciser que les cours de ces métaux ont explosé.

Pour résoudre la tragédie des communs il y a habituellement plusieurs solutions : la nationalisation de la ressource ou l’intervention des pouvoirs publics pour en réguler la consommation. Le problème est qu’ici on parle de ressources dispersées (inégalement) à travers le globe et la nationalisation par l’ONU n’est pas envisageable, pas plus que la régulation qui nécessiterait encore l’organisation de « grands machins » comme le sommet de Copenhague qui dureront un temps infini et ne serviront qu’à montrer la faible cohésion des humains entre eux. Les ressources finies feront donc l’objet d’armes diplomatiques pour ceux qui les possèdent et éveilleront les convoitises des pires mafias. Il faut bien l’avoir en tête pour préparer la transition. A cela, on ne peut qu’essayer de se ramener au bon sens, très bien résumé par ce poème indien :

Quand le dernier arbre sera abattu, la dernière rivière asséchée, le dernier poisson pêché, l'homme s'apercevra que l'argent n'est pas comestible.

Mandelbrot et la découverte du monde fractal

Le 14 octobre 2010 est un triste jour pour les mathématiques : Benoît Mandelbrot s’est éteint à l’âge de 85 ans. Ce mathématicien franco-américano-polonais est le père des objets fractals. C’est à lui que je dois mon amour pour les mathématiques. Notre prof de maths de seconde nous avait emmenés voir une expo sur ces étranges ensembles et j’ai lu après tout ce que je pouvais trouver sur ce sujet. J’ai alors découvert que les mathématiques étaient un édifice non pas statique mais en mouvement, qu'elles pouvaient servir à expliquer la nature et le monde économique. Les fractales ouvraient également des réflexions philosophiques inédites sur l’infini et étaient une forme nouvelle d’art (les visual DJs du mouvement techno que je découvrais à la même époque utilisaient beaucoup les fractales aux couleurs si psychédéliques). Tout cela grâce à Benoît Mandelbrot. Merci. Je vais essayer de lui rendre ici un humble hommage, en essayant de rester abordable à tous.

Les fractales sont des figures géométriques au tracé extrêmement irrégulier, dont certaines parties ressemblent à l’ensemble initial. La plus connue est le flocon de Von Koch (ci-dessous) obtenue par un procédé itératif qui aboutit à un ensemble qui ressemble à un flocon de neige.

Admirez la ressemblance avec un vrai flocon de neige:

On retrouve de nombreuses fractales dans la nature, que ce soit dans les formes que l’on obtient en déchirant un sac plastique (voir par exemple cette vidéo des travaux de recherche de Basile Audoly, un ancien camarade de classe à Nice) ou bien dans les appendices du chou romanesco.

Les fractales ont des applications pour la modélisation du climat, l’analyse du cours des fleuves, la simulation des ondes sismiques ou bien encore l’étude de la distribution des galaxies. Mandelbrot s’est aussi beaucoup intéressé à l’application des fractales à la modélisation des phénomènes financiers. Son dernier livre « Une approche fractale des marchés », publié en septembre 2009, explore de nombreux phénomènes qui aurait pu , selon lui, permettre d’éviter la crise de 2008 (personnellement j’en doute car les fractales n’empêcheront jamais la folie des hommes).

Son livre Les objets fractals restera son grand classique. A titre personnel, j’ai assouvi ma passion pour les fractales en faisant pendant presque deux ans de la recherche dans ce domaine (sur les ondelettes plus exactement, dont l'inventeur Yves Meyer a récemment reçu le prix Gauss) avant de me tourner vers un autre domaine des mathématiques appliquées plus proches d'autres de mes préoccupations (l’optimisation, cf. cette page du site sieclebleu.org).

Benoît Mandelbrot a donc développé un nouveau pan des mathématiques qui a eu des applications dans de multiples domaines. Mais il a aussi eu un flair inouï en 1980 en découvrant un territoire, le territoire le plus vaste et le plus complexe jamais découvert par l’homme. Le Nouveau Monde de Christophe Colomb n’est rien à côté comme vous allez le voir. Ce territoire porte évidemment son nom : l’ensemble de Mandelbrot ou M pour les intimes.

NB : ce qui suit peut paraître un peu compliqué (même si j’ai essayé d’être didactique), donc si cela vous ennuie, je vous encourage à aller directement aux vidéos en bas de l’article.

Mandelbrot est tombé sur cette terra incognita en 1980 en reprenant les travaux de Gaston Julia et de Pierre Fatou qui dataient des années 20. Julia et Fatou s’intéressaient à l’itération des fonctions, c’est-à-dire à ce qui se passe lorsque l’on applique de nombreuses fois la même fonction à un point. Mandelbrot analysait une fonction en particulier, la plus simple qui soit : la fonction « mettre au carré ».

z_n+1 = z_n² + c

Derrière cette fonction, se cache pourtant le monde le plus ahurissant jamais découvert. Comment construit-on ce monde ? Voilà les explications.

En partant d’un point du plan c de coordonnées (x,y), en le mettant au carré puis en ajoutant à nouveau c, on aboutit à c² + c. Si on effectue à nouveau la même transformation, on tombe sur (c² +c)² +c. Si on le fait à nouveau, on tombe sur ((c² +c)² +c)²+c et ainsi de suite... Mandelbrot se posa alors la question très simple : quels sont les valeurs de c pour lesquelles la série part vers l’infini ou non ?

Le plus simple est de regarder l'axe des abscisses, les points de la forme (x,0). Par exemple le point (1,0) devient (2,0) puis (5,0) puis (26,0) et part à l’infini. Le point (0,0) reste invariant et ne part à l’infini. Le point (-1,0) devient (0,0) et ne part pas non plus à l’infini. On montre facilement que l’ensemble des points qui ne partent pas l’infini sur l'axe des x est l’ensemble [-2 ; 1/4].

Mandelbrot s’aperçut en revanche que lorsqu'il cherchait la réponse pour les points de type (x,y), c'était beaucoup moins trivial. En 1980, il travaillait pour IBM et il écrivit un petit programme informatique qui demandait à l’ordinateur de dessiner en blanc les points qui partaient à l’infini et en noir les autres. Il fut très surpris d’obtenir l’image suivante (c’est l’image de l’époque tirée sur une imprimante de mauvaise qualité).

Mandelbrot trouve que cette zone noire a l’air quand même bien bizarre et irrégulière, et poursuit son investigation. Est-ce une fractale ? La réponse est oui et, il ne le sait pas encore, même le plus complexe d’entre eux. Quand on le trace avec un ordinateur contemporain, l’ensemble de Mandelbrot ressemble en effet à ceci :

L'image ci-dessus est un peu plus sophistiquée que l’image en noir et blanc. Les points noirs sont toujours ceux qui ne partent pas vers l’infini et les points d’une même couleur sont ceux qui dépassent « le point de non retour vers l’infini » après le même nombre d’itérations. Par exemple, ceux de la première zone verdâtre mettent 4 itérations à dépasser un point qui fait que l’on est certain qu’ils partiront vers l’infini.

La frontière de l’ensemble noir, a bien l’air très irrégulière, un peu comme les côtes de Bretagne (un autre ensemble fractal). On a donc bien envie de « zoomer » pour voir si ces infractuosités deviennent lisses ou si elles demeurent "brisées" à toute échelle. Dans les images ci-dessous, on « zoome » à 6 reprises sur l’ensemble de Mandelbrot. Si c'était un microscope ou l'objectif d'un appareil photo, le facteur de zoom serait de l’ordre de 3 millions.

Et là, ô surprise, qu’est-ce que l’on retrouve au fond de ce zoom : une copie miniature de l’ensemble de Mandelbrot ! (Il a même été démontré que quel soit le point de la frontière sur lequel on zoome, on est sûr de retomber sur une réplique – un peu déformée - de l’ensemble initial).

Donc non seulement, la structure reste complexe et pleine de ramifications (appelées dendrites), mais en plus on retrouve l’ensemble initial, sauf qu’il est entouré d’une très belle couronne flamboyante. Cela donne envie d’aller plus profond, ou d’aller explorer d’autres zones. Vous pouvez écrire un programme vous-même ou plutôt utiliser un logiciel optimisé comme Fractint. Lorsque j’étais au lycée, la première version de Fractint venait de sortir, et permettait de faire des zooms de l’ordre de 100 millions à un milliard, en laissant tourner l’ordinateur toute la nuit, ce que je faisais chaque soir... En « plongeant », on découvrait des zones d’une beauté saisissante et d’une complexité extraordinaire pour une fonction pourtant au départ si simple. Admirez plutôt les images ci-dessous, toutes issues de l'ensemble de Mandelbrot.

Mandelbrot avait donc raison, la réponse à la question « quels sont les points qui ne divergent pas » n’était pas triviale ! Dès que vous zoomez sur une nouvelle région ou plongez ailleurs, vous découvrez de nouvelles contrées complètement différentes. J’y ai passé mes nuits il y a 20 ans, et aujourd’hui, j’ai envie d’y replonger. Il y avait quelque chose d'initiatique dans ces explorations, qui s'apparentent beaucoup à la méditation du Mandala chez les Tibétains.

J'ai d'autant plus envie de reprendre ces explorations que les capacités des ordinateurs et des algorithmes (Fractint en est à la version 20…) ont explosé. Le record de zoom revient à Orson Wang, qui a réalisé en mars dernier une plongée abyssale d’un facteur... 10²⁷⁵ ! C’est à dire qu'il a appliqué 275 fois de suite un zoom de 10 ! Regardez plutôt cette vidéo, ça dure 5 minutes et vous allez en prendre plein les yeux.

Cette plongée me rappelle le documentaire hallucinant Powers of Ten (Les Puissances de dix) de Ray et Charles Earnes datant de 1977 (ce documentaire m’a inspiré une partie de la scène du trip d’Abel à l’ayahuasca, p. 292 de Siècle bleu). En partant d’un picnic sur les bords du lac Michigan à Chicago, on effectue un zoom arrière continu jusqu’au cœur de la voie Lactée et aux tréfonds de l’univers, puis un zoom avant dans l’autre sens où on plonge dans la main, l'épiderme, le collagène, un lymphocyte, les chromosomes et l'ADN, les atomes, les électrons et enfin évoque les quarks d'un proton du noyau. Si vous ne le connaissez, regardez le, c’est ahurissant.

Or chaque dix secondes, le film n’effectue « seulement » qu’un zoom de facteur 10. Comme nous l’explique bien le site du film il nous emmène jusqu’à 10²⁶ puis jusqu’à 10^-18 (où l’on trouve les quarks). Il n’existe aucun objet naturel connu qui permette de zoomer dessus avec un facteur 10²⁷⁵. L’ensemble de Mandelbrot est infiniment plus grand que l’univers. Il est infini. Il est l’infini.

On peut se demander si l’ensemble de Mandelbrot a la même existence « absolue » qu’un cercle ou qu’un triangle. Pour moi, la réponse est oui. L'ordinateur de Mandelbrot l'a révélé, mais il préexistait à cette découverte. Ce n'est pas possible autrement. Cet ensemble (comme le sont aussi les décimales du nombre pi) est même peut-être la signature de Dieu ou plus exactement (vu que je ne suis pas croyant au sens classique) il est la preuve qu’il existe quelchose de complexe, un principe plus qu’un « individu », qui sous-tend et organise notre réalité. J'essaye de m'en persuader et cela a quelque chose de rassurant.

J'espère en tout cas sincèrement que de là où il se trouve maintenant, Benoît Mandelbrot aura l'éternité (et la puissance de calcul) pour explorer tous les recoins de l'ensemble qui porte son nom.

PS : je rêve souvent d’écrire une course-poursuite qui se déroulerait dans l’ensemble de Mandelbrot. J’avais hésité à l’inclure dans le tome 2 de Siècle bleu, mais le contenu est déjà trop dense. Ce sera donc plutôt dans le tome 3 ou le tome 4 (d'ailleurs d'ici là, le livre numérique aura sûrement évolué et pour écrire un truc comme ça serait bien de s'appuyer sur un support numérique pour que le lecteur voit où les poursuivants se cachent). Cette envie remonte certainement à un épisode de Capitaine Flam qui m’avait profondément marqué et que je revois aujourd’hui encore avec une émotion intacte : pour sauver l’univers, Capitaine Flam y affronte le magicien Calone au cœur d’une pierre précieuse à l'aide d'un réducteur de particules (vous pouvez visionner cet épisode ici).

Charpak et la voix de nos ancêtres

Le physicien français Georges Charpak (prix Nobel 1992) nous a quitté le 29 septembre dernier. Je ne vais pas essayer de vous résumer ici ses contributions à la science, mais juste vous parler d'une idée très originale qu'il avait émise.

Charpak se demandait si on pouvait trouver des vestiges du passé par d'autres moyens que l'archéologie traditionnelle (qui vise à extraire écrits, empreintes, dessins, objets, bâtiments, ossements, déchets...) pour reconstituer des tranches du passé de notre espèce. Charpak se demandait notamment si on pouvait reconstituer la voix de nos ancêtres en analysant les sillons des poteries qui au niveau microscopique auraient pu être déformés par la voix des potiers. Ceci aurait notamment été très intéressant pour découvrir les langues qui n'étaient pas écrites. Malheureusement ce projet n'a jamais abouti et beaucoup de gens disent que ce serait d'ailleurs impossible. L'idée valait néanmoins le coup d'être lancée.

Dans la même veine, des chercheurs américains ont réussi cependant à reconstituer en 2008, le plus vieil enregistrement de l'histoire humaine... bon, OK, il s'agit d'"Au clair de la Lune" ... celui-ci ne remonte qu'à 1860 et pas jusqu'à nos amis gaulois, mayas ou sumériens. Dix-sept ans avant l'invention du phonographe par Edison, l'enregistrement avait été réalisé à l'aide d'un phonautographe "'appareil pouvait enregistrer les sons, sans les reproduire, en transmettant les vibrations sonores à un stylet qui gravait alors les courbes sonores sur un cylindre enduit de fumée noire."

Pour écouter ce son, vous pouvez cliquer ici ou aller sur le site de l'association First Sounds qui réunit des historiens de l'audio.

En souhaitant pour Charpak que nos descendants soient toujours assez malins pour écouter les enregistrements numériques de ses interventions et de ses publications !